Question

定義：min{a₁，a₂，a₃，…，a_n}表示a₁，a₂，a₃，…，a_n中的最小值．若定義f（x）=min{x，5-x，x²-2x-1}，對于任意的n∈N^*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n-1）+f（2n）≤kf（n）成立，則常數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，對n=1，2，3，4，5，6，…的情況分別進(jìn)行討論，得到規(guī)律，即可求得常數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=min{x，5-x，x²-2x-1}，
∴當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=-2，f（2）=-1；
∴f（1）+f（2）≤kf（1），即-3≤-2k，
解得：k≤

3

2

；
當(dāng)n=2時(shí)，f（3）=min{3，5-3，3²-2×3-1}=2，f（4）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）≤kf（2），即-2-1+2+1≤k×（-1），
解得：k≤0；
當(dāng)n=3時(shí)，f（5）=0，f（6）=-1，f（1）+f（2）+…+f（5）+f（6）=-1≤kf（3）=2k，
解得：k≥-

1

2

；
同理可得，當(dāng)n=4時(shí)，f（7）=-2，f（8）=-3，依題意，可解得k≥-6；
當(dāng)n=5時(shí)，f（9）=-4，f（10）=-5，同理解得k∈R；
當(dāng)n=6時(shí)，f（11）=-6，f（12）=-7，依題意得k≤15；
…
∵對于任意的n∈N^*，均有f（1）+f（2）+…+f（2n-1）+f（2n）≤kf（n）成立，
∴常數(shù)k的取值范圍是[-

1

2

，0]．
故答案為：[-

1

2

，0]．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查對函數(shù)概念的理解與綜合應(yīng)用，突出考查分類討論思想與運(yùn)算能力，屬于難題．