Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²|x-a|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求使f（x）=x成立的x的集合；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，根據(jù)絕對(duì)值的符號(hào)分為兩種情況，即x＜2和x≥2分別求解對(duì)應(yīng)方程得根，再把所有的根用列舉法表示出來．
（Ⅱ）根據(jù)區(qū)間[1，2]和絕對(duì)值內(nèi)的式子進(jìn)行分類討論，即a≤1、1＜a≤2和a≥3三種情況，分別求出解析式和它的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷在閉區(qū)間上的單調(diào)性，再求最小值；當(dāng)a≥3時(shí)最小值可能取在區(qū)間的兩端，再通過作差和分類進(jìn)行比較兩個(gè)函數(shù)值的大小，最后用分段函數(shù)表示函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，f（x）=x²|x-2|
當(dāng)x＜2時(shí)，由f（x）=x²（2-x）=x，解得x=0或x=1；
當(dāng)x≥2時(shí)，由f（x）=x²（x-2）=x，解得x=1+

2

．
綜上，所求解集為{0，1，1+

2

}
（Ⅱ）設(shè)此最小值為m．
①當(dāng)a≤1時(shí)，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=x³-ax²，
∵f′（x）=3x²-2ax=3x（x-

2

3

a）＞0，x∈（1，2），
則f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，∴m=f（1）=1-a．
②當(dāng)1＜a≤2時(shí)，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=x²|x-a|≥0，由f（a）=0知m=f（a）=0．
③當(dāng)a＞2時(shí)，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=ax²-x³
f′（x）=2ax-3x²=3x（

2

3

a-x）．
若a≥3，在區(qū)間（1，2）上，f'（x）＞0，則f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，
∴m=f（1）=a-1．
若2＜a＜3，則1＜

2

3

a＜2．
當(dāng)1＜x＜

2

3

a時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）是區(qū)間[1，

2

3

a]上的增函數(shù)，
當(dāng)

2

3

a＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0，則f（x）是區(qū)間[

2

3

a，2]上的減函數(shù)，
因此當(dāng)2＜a＜3時(shí)，故m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
當(dāng)2＜a≤

7

3

時(shí)，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2），
當(dāng)

7

3

＜a＜3時(shí)，4（a-2）＜a-1，故m=f（1）=a-1．
總上所述，所求函數(shù)的最小值m=

1-a，a≤1 0，1＜a≤2 4(a-2)，2＜a≤ 7 3 a-1，a＞ 7 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要用了分類討論的思想解決含有參數(shù)的函數(shù)求值和求最值問題，分類的標(biāo)準(zhǔn)是絕對(duì)值的符號(hào)，求閉區(qū)間上的最值時(shí)，通常是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)用它的符號(hào)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，再求最值，有時(shí)需要對(duì)端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行作差比較大�。�