Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=

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AB，N為AB上一點，AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點．
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小．

Answer 1

分析：由PA=AC=

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2

AB，N為AB上一點，AB=4AN，我們不妨令PA=1，然后以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系．由此不難得到各點的坐標(biāo)（1）要證明CM⊥SN，我們可要證明

CM

•

SN

=0即可，根據(jù)向量數(shù)量積的運算，我們不難證明；
（2）要求SN與平面CMN所成角的大小，我們只要利用求向量夾角的方法，求出SN和方向向量與平面CMN的法向量的夾角，再由它們之間的關(guān)系，易求出SN與平面CMN所成角的大�。�

解答：證明：設(shè)PA=1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖．
則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，

1

2

），N（

1

2

，0，0），S（1，

1

2

，0）．（4分）
（Ⅰ）

CM

=(1，-1，

1

2

)，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
因為

CM

•

SN

=-

1

2

+

1

2

+0=0，
所以CM⊥SN（6分）
（Ⅱ）

NC

=(-

1

2

，1，0)，
設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，
則

x-y+ 1 2 z=0 - 1 2 x+y=0.

令x=2，得a=（2，1，-2）．
因為|cos＜a，

SN

＞|=|

-1- 1 2

3× 2 2

|=

2

2

，
所以SN與片面CMN所成角為45°．

點評：如果已知向量的坐標(biāo)，求向量的夾角，我們可以分別求出兩個向量的坐標(biāo)，進一步求出兩個向量的模及他們的數(shù)量積，然后代入公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

即可求解