Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA、AB、AD兩兩互相垂直，BC∥AD，且AB=AD=2BC，E，F(xiàn)分別是PB、PD的中點．
（1）證明：EF∥平面ABCD；
（2）若PA=AB，求PC與平面PAD所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△PBD中，E，F(xiàn)分別為PB、PD中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得EF∥BD，從而可證EF∥平面ABCD；
（2）易證CG⊥平面PAD，從而可得平面PAD的垂線，由此可知∠GPC是PC與平面PAD所成的角，從而可求．
解答：（1）證明：連接BD，∵在△PBD中，E，F(xiàn)分別為PB、PD中點，
∴EF∥BD-----（2分）
又EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD----------（6分）
（2）解：取AD中點G，連接CG、PG．
∵四邊行ABCD中，BC∥AD，AD=2BC．
∴CG∥AB-----------（8分）
又∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD∴CG⊥平面PAD
∴∠GPC是PC與平面PAD所成的角-------------------（11分）
設(shè)PA=2a，則AB=CG=2 a，BC=AG=a，AC=a，∴PC==3a
在RT△PGC中，sin∠GPC=
∴∠GPC=arcsin
即PC與平面PAD所成的角是arcsin----------------（13分）
點評：本題以四棱錐為載體，考查線面平行，線面角，關(guān)鍵是利用線面平行的判定，尋找平面的垂線．