Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且f（1+x）=f（1-x），f（0）=-1．
（1）求該函數(shù)的解析式；
（2）求f（x）在[-1，2]上的值域；
（3）求f（x）在[t，t+2]上最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件分別求出b，c，
（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域，
（3）討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間[t，t+2]的關(guān)系，即可求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c，f（0）=-1．
∴f（0）=c=-1，
∵f（1+x）=f（1-x），
∴對(duì)稱(chēng)軸x=1，即-

b

2

=1，
即b=-2．
∴f（x）=x²-2x-1．
（2）∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
∵x∈[-1，2]，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值-2，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值f（-1）=2，
故-2≤f（x）≤2，
即函數(shù)的值域?yàn)閇-2，2]．
（3）∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
①若t≥1，則函數(shù)f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，∴最小值為f（t）=t²-2t-1．
②若t+2≤1，即t≤-1，則函數(shù)f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞減，∴最小值為f（t+2）=（t+1）²-2．
③若-1＜t＜1，此時(shí)當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值f（1）=-2．
故f_min（x）=

t2-2t-1，t≥1 -2，  -1＜t＜1 t2+2t-1，t≤-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，利用配方法，結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸和定義區(qū)間的關(guān)系即可求函數(shù)的最值．