Question

如圖，AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA₁、CB₁的中點，DE⊥面CBB₁．
（1）證明：DE∥面ABC；
（2）證明：面A₁B₁C⊥面A₁AC；
（3）求四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結(jié)EO、OA，由圓柱的性質(zhì)得四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，所以DA∥BB₁且DA=BB₁．△B₁BC中利用中位線定理，得到EO∥BB₁且EO=BB₁，從而證出四邊形AOED是平行四邊形，得DE∥OA，結(jié)合線面平行的判定定理即可證出DE∥面ABC；
（2）根據(jù)圓的性質(zhì)得到AB⊥AC，結(jié)合AA₁⊥AB得到AB⊥面A₁AC，由AB∥A₁B₁得出A₁B₁⊥面A₁AC，再根據(jù)面面垂直的判定定理，可得面A₁B₁C⊥面A₁AC；
（3）由DE⊥面CBB₁結(jié)合DE∥OA，得OA⊥面CBB₁，從而AO⊥BC，結(jié)合結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)得到AC=AB．由線面垂直判定定理證出AC⊥平面AA₁B₁B，得AC為四棱錐C-ABB₁A₁的高．因此設(shè)圓柱高為h，底半徑為r，可得四棱錐C-ABB₁A₁體積與圓柱OO₁的體積關(guān)于h、r的表達(dá)式，即可算出四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比．
解答：解：（1）連結(jié)EO、OA，
∵E、O分別為B₁C、BC的中點，∴EO∥BB₁，EO=BB₁
又∵AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線，
∴AA₁∥BB₁、AA₁=BB₁，可得四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，
∵平行四邊形AA₁B₁B中，DA∥BB₁，DA=BB₁，
∴DA∥EO，且DA=EO
四邊形AOED是平行四邊形，可得DE∥OA
∵DE?面ABC，OA?面ABC，∴DE∥面ABC；…（4分）
（2）∵AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線，
∴四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，可得AB∥A₁B₁
∵AA₁⊥圓O所在的平面，AB?圓O所在的平面，∴AA₁⊥AB，
又∵BC是底面圓O的直徑，∴AB⊥AC，
∵AC∩AA₁=A，AC、AA₁?面A₁AC，AB⊥面A₁AC，
∵AB∥A₁B₁，∴A₁B₁⊥面A₁AC，
∵A₁B₁?面A₁B₁C，∴面A₁B₁C⊥面A₁AC；…（9分）
（3）由題意，DE⊥面CBB₁，由（1）知DE∥OA，
∴OA⊥面CBB₁，∴結(jié)合BC?面CBB₁，可得AO⊥BC，得AC=AB．
∵AB⊥AC且AA₁⊥AC，AB、AA₁是平面AA₁B₁B內(nèi)的相交直線，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，即AC為四棱錐C-ABB₁A₁的高．
設(shè)圓柱高為h，底半徑為r，則V_圓柱=πr²h，V_四棱錐=（）•（）h=，
∴四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比為=．…（14分）
點評：本題在圓柱體中求證線面平行、面面垂直，并求四棱錐與圓柱的體積之比．著重考查了線面平行的判定定理、線面垂直與面面的判定與性質(zhì)、錐體與柱體體積公式等知識，屬于中檔題．