Question

13．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若關于x的方程f（x）+log₂k=0（k為實數(shù)）在x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{19π}{24}$]上恒有實數(shù)解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2，求出φ，得到函數(shù)的解析式即可．
（2）由圖象，得到x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求出f（x）的范圍，即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知A=2，T=4（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π，ω=2，
當x=$\frac{π}{6}$時取得最大值2，所以 2=2sin（2x+φ），所以φ=$\frac{π}{6}$，
函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）由圖象，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]；
（3）∵x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{19π}{24}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
∴f（x）∈[-2，1]
∵關于x的方程f（x）+log₂k=0（k為實數(shù)）在x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{19π}{24}$]上恒有實數(shù)解，
∴-1≤log₂k≤2
∴$\frac{1}{2}$≤k≤4．

點評 本題是基礎題，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，注意函數(shù)的周期的求法，考查計算能力，�？碱}型．