Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T及值域． 
（2）說明函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦與正弦及輔助角公式可將f（x）化為f（x）=sin（2x+

π

3

），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期T及值域．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得其單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間，從而可說明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

•

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin（2x+

π

3

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π，值域?yàn)閇-1，1]．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
∴函數(shù)y=f（x）在[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）上單調(diào)遞增，
同理可得函數(shù)y=f（x）在[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的余弦與正弦及輔助角公式，著重考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值，屬于中檔題．