Question

設函數f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．
（1）當m＞1時，求函數y=f（x）在[0，m]上的最大值；
（2）記函數p（x）=f（x）-g（x），若函數p（x）有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）化簡函數f（x）的解析式，分別在[0，1]和（1，m]上求函數的最大值．
（2）函數有零點即對應方程有解，得到m的解析式m=h（x），通過導數符號確定h（x）=lnx-x|x-1|的單調性，由h（x）的單調性確定h（x）的取值范圍，即得m的取值范圍．
解答：解：（1）當x∈[0，1]時，f（x）=x（1-x）+m=
∴當時，
當x∈（1，m]時，f（x）=x（x-1）+m=
∵函數y=f（x）在（1，m]上單調遞增，∴f（x）_max=f（m）=m²
由得：又m＞1．
∴當時，f（x）_max=m²；
當時，．
（2）函數p（x）有零點即方程f（x）-g（x）=x|x-1|-lnx+m=0有解，
即m=lnx-x|x-1|有解
令h（x）=lnx-x|x-1|，當x∈（0，1]時，h（x）=x²-x+lnx
∵
∴函數h（x）在（0，1]上是增函數，∴h（x）≤h（1）=0
當x∈（1，+∞）時，h（x）=-x²+x+lnx．
∵=＜0
∴函數h（x）在（1，+∞）上是減函數，∴h（x）＜h（1）=0
∴方程m=lnx-x|x-1|有解時，m≤0，
即函數p（x）有零點時m≤0
點評：本題考查用分類討論的方法求函數最大值，利用導數求函數值域，及化歸與轉化的思想方法．