在棱長為1的正方體ABCD—A¢B¢C¢D¢中，AC¢為對角線，M、N分別為BB¢、B¢C¢的中點(diǎn)，P為線段MN中點(diǎn)．

（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切值；

（2）求四面體P-AC¢D¢的體積：

（3）求DP和AC¢所成角．

 

答案：
解析：

（1）過P作PH^BC于點(diǎn)H，連結(jié)DH，∵ 面BC¢上面AC，則PH^面ABCD，

∴ DP和面ABCD所成角即為ÐHDP．

在正方形BCC¢B¢，M、N分別為BB¢、B¢C¢中點(diǎn)，P為MN中點(diǎn)，

又B¢C¢=1，則PH=，BH=，CH=，DH=

在RtDPHD中，tanÐHDP=

（2）連BC¢和B</i>¢C交于Q，因?yàn)?i>BCC¢B¢為正方形，則PQ^BC¢則PQ=

而SDAC¢D¢=  ∴ VP-AC¢D¢=  （體積單位）

（3）延長BC至E，延長B¢C¢至F，使CE=C¢F=1，連結(jié)DF，則DF∥AC¢，過P作

PH¢^B¢C¢于點(diǎn)H¢

∴ 異面直線AC¢和DP所成角轉(zhuǎn)化為求ÐPDF，連結(jié)PF

DP=  DF=

在RtDPFH¢，中，PF=

在DDPF中，cosÐPDF=

∴ ÐPDF=

或解：建立如圖空間直角坐標(biāo)系

A(0，0，1)，C¢(1，1，0)，則=(1，1，-1)，

D(0，1，1)，P  則

設(shè)和夾角為q</span>

cosq=  q=

 


練習(xí)冊系列答案
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11、如圖所示在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動，給出以下四個(gè)命題：
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②二面角P-BC1-D的大小為定值；
③三棱錐D-BPC1的體積為定值；
④直線CP與直線ABC1D1所成的角為定值．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

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在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AB與CD1之間的距離是（　�。�

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（2004•武漢模擬）（文科）在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，AC′為對角線，M、N分別為BB′，B′C′中點(diǎn)，P為線段MN中點(diǎn)．
（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切；
（2）求四面體P-AC′D′的體積．

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