Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a_n+1=

8an-12

3an-4

，n∈N^*，b_n=

1

an-2

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，并求其通項公式；
（Ⅱ）已知以數(shù)列{b_n}的公差為周期的函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）]在區(qū)間[0，

1

2

]上單調(diào)遞減，求φ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的通項公式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由b_n=

1

an-2

得到bn+1=

1

an+1-2

，作差后代入a_n+1=

8an-12

3an-4

整理即可證得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
求出b₁后代入等差數(shù)列的通項公式得答案；
（Ⅱ）由周期公式求出ω，由x的范圍求得ωx+φ的范圍為[φ，

2π

3

+φ]，利用[φ，

2π

3

+φ]?[

π

2

，

3π

2

]求解φ得范圍．

解答： （Ⅰ）證明：∵bn+1-bn=

1

an+1-2

-

1

an-2

=

1

8an-12 3an-4

-

1

an-2

=

3an-4

2an-4

-

1

an-2

=

3an-6

2an-4

=

3

2

．
∴數(shù)列{b_n}是首項為b1=

1

a1-2

=

1

3

，公差為

3

2

的等差數(shù)列，
故bn=

1

3

+

3

2

(n-1)=

9n-7

6

；
（Ⅱ）解：由于函數(shù)f（x）的周期T=

2π

ω

，
∴ω=

2π

T

=

2π

3 2

=

4π

3

，
又x∈[0，

1

2

]，
∴

4π

3

x+φ∈[φ，

2π

3

+φ]?[

π

2

，

3π

2

]，
則

φ≥ π 2 2π 3 +φ≤ 3π 2 .

，
∴φ∈[

π

2

，

5π

6

]．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定及等差數(shù)列的通項公式的求法，對于（Ⅱ）的求解，關(guān)鍵是找到區(qū)間[φ，

2π

3

+φ]與[

π

2

，

3π

2

]的關(guān)系，是中檔題．