Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），關(guān)于數(shù)列{a_n}有下列命題：
①若{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則S_n=na_n（n∈N^*）；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R），則{a_n}是等差數(shù)列；
③若S_n=3ⁿ+1，則{a_n}是等比數(shù)列；
④若{a_n}是等比數(shù)列，則S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m（m∈N^*）也成等比數(shù)列；
⑤若{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，且S_m，2S_m+1，3S_m+2（m∈N^*）成等差數(shù)列，則3q-1=0．
其中正確的命題是

 

．（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：由既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列為非零常數(shù)列說明①正確；由數(shù)列的前n項(xiàng)和求出通項(xiàng)公式說明②正確，③錯(cuò)誤；舉反例說明④錯(cuò)誤；直接由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)列式分析⑤正確．

解答： 解：①若{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則數(shù)列為非零常數(shù)列，∴S_n=na_n（n∈N^*），命題①正確；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R），則a₁=S₁=a+b，
a_n=S_n-S_n-1=an²+bn-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b（n≥2）．
驗(yàn)證n=1上式成立，∴a_n=2an-a+b，則{a_n}是等差數(shù)列，命題②正確；
③若S_n=3ⁿ+1，則a₁=S₁=4，
an=Sn-Sn-1=3n+1-3n-1-1=2•3n-1（n≥2），
驗(yàn)證n=1時(shí)上式不成立，則{a_n}不是等比數(shù)列，命題③錯(cuò)誤；
④若{a_n}是等比數(shù)列，則S_m，S_2m-S_m，S_3m-S_2m（m∈N^*）不一定成等比數(shù)列，如數(shù)列1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，…，m=2時(shí)不成立，命題④錯(cuò)誤；
⑤若{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，且S_m，2S_m+1，3S_m+2（m∈N^*）成等差數(shù)列，
設(shè)其首項(xiàng)為a₁，公比為q，則2

a1(1-qm+1)

1-q

=

a1(1-qm)

1-q

+3

a1(1-qm+2)

1-q

，整理得3q-1=0，命題⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．