Question

如下圖，四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求證：EF、GH、BD交于一點(diǎn).

Answer 1

答案：
解析：

思路：本題是一個(gè)證明三線共點(diǎn)的問題，證明時(shí)可以首先證明GH和EF共面交于一點(diǎn)O，然后說明O是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn)，而平面ABD和平面BCD相交于直線BD，根據(jù)公理2，兩平面相交，有且只有一條交線，因此點(diǎn)O在交線上，即點(diǎn)O在直線BD上，從而證明了直線EF、GH、BD都經(jīng)過點(diǎn)O.在該題中還涉及到證明E、F、H、G四點(diǎn)共面的問題，又利用了公理2的推論. 證明：因?yàn)?i>E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，所以GE∥AC. 又因?yàn)?i>DF∶FC=DH∶HA=2∶3， 所以FH∥AC. 從而，FH∥GE. 故E、F、H、G四點(diǎn)共面. 所以四邊形EFHG是一個(gè)梯形，GH和EF交于一點(diǎn)O. 因?yàn)?i>O在平面ABD內(nèi)，又在平  面BCD內(nèi)，所以O在這兩平面的交線上.而這兩平面的交線是BD，且交線只有一條，所以點(diǎn)O在直線BD上.這就證明了GH和EF的交點(diǎn)也在BD上，所以EF、GH、BD交于一點(diǎn).