如下圖，四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，點F在CD上，點H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求證：EF、GH、BD交于一點.

答案：
解析：

思路：本題是一個證明三線共點的問題，證明時可以首先證明GH和EF共面交于一點O，然后說明O是平面ABD和平面BCD的公共點，而平面ABD和平面BCD相交于直線BD，根據(jù)公理2，兩平面相交，有且只有一條交線，因此點O在交線上，即點O在直線BD上，從而證明了直線EF、GH、BD都經(jīng)過點O.在該題中還涉及到證明E、F、H、G四點共面的問題，又利用了公理2的推論.

證明：因為E、G分別為BC、AB的中點，所以GE∥AC.

又因為DF∶FC=DH∶HA=2∶3，

所以FH∥AC.

從而，FH∥GE.

故E、F、H、G四點共面.

所以四邊形EFHG是一個梯形，GH和EF交于一點O.

因為O在平面ABD內(nèi)，又在平面BCD內(nèi)，所以O在這兩平面的交線上.而這兩平面的交線是BD，且交線只有一條，所以點O在直線BD上.這就證明了GH和EF的交點也在BD上，所以EF、GH、BD交于一點.


練習(xí)冊系列答案
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如下圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A、B的任意一點，PA⊥平面ABC，則四面體P－ABC的四個面中，直角三角形的個數(shù)有

[　　]
A．

4個

B．

3個

C．

2個

D．

1個

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如下圖所示，在四面體P－ABC中，已知PA＝BC＝6，PC＝AB＝10，AC＝8，PB＝．F是線段PB上一點，，點E在線段AB上，且EF⊥PB．

(Ⅰ)證明：PB⊥平面CEF；

(Ⅱ)求二面角B－CE－F的大�。�

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A.平面ABD⊥平面ABC                        B.平面ADC⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDC                        D.平面ADC⊥平面ABC

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如下圖，在四面體O—ABC中,=a,=b,=c,D為BC中點,E為AD的中點,則=_____.(用a,b,c表示)

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