Question

（文）觀察下面的數(shù)陣，回答下列問(wèn)題，
（1）第10行所有數(shù)的和是多少？
（2）記各行最右端的數(shù)的倒數(shù)構(gòu)成數(shù)列{a_n}，{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n． 證明：s_n＜

7

4

．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，第n行的最后一個(gè)數(shù)n²，且該行有2n-1個(gè)數(shù)，依照此規(guī)律，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解
（2）由a_n=

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)（n＞1），利用裂項(xiàng)求和及放縮法即可證明

解答：解：（1）由題意可得，第n行的最后一個(gè)數(shù)n²，且該行有2n-1個(gè)數(shù)
∴第10行的最后一個(gè)數(shù)是100，且該行有19個(gè)數(shù)
∴第10行的所有的數(shù)的和是：82+83+…+100=1729
（2）∵a_n=

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)（n＞1）
∴s_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

)
=1+

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)＜

7

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)與求和，解題的關(guān)鍵是要觀察出已知數(shù)陣的規(guī)律與特點(diǎn)