已知M (-3，0)﹑N (3，0)，P為坐標(biāo)平面上的動點(diǎn)，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)m (m，m0)，點(diǎn)P的軌跡加上M、N兩點(diǎn)構(gòu)成曲線C.

求曲線C的方程并討論曲線C的形狀；

(2) 若，曲線C過點(diǎn)Q (2，0) 斜率為的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A﹑B，AB中點(diǎn)為R，直線OR (O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為，求證 為定值；

(3) 在(2)的條件下，設(shè)，且，求在y軸上的截距的變化范圍.

 

【答案】

（1）

若m=-1，則方程為，軌跡為圓；

若，方程為，軌跡為橢圓；

若，方程為，軌跡為雙曲線

（2）

（3）

【解析】

試題分析：解：（1）由得點(diǎn)P的軌跡方程為：.

若m=-1，則方程為，軌跡為圓；

若，方程為，軌跡為橢圓；

若，方程為，軌跡為雙曲線。          4分

（2）時，曲線C方程為，

設(shè)的方程為：，與曲線C方程聯(lián)立得：，

設(shè)，則①，②，

可得，  ∴為定值。        7分

注：①可用點(diǎn)差法證明；②直接用得出結(jié)果的，本小題只給1分.

（3）由得代入①②得：③，④，

③式平方除以④式得：，

∵在上單調(diào)遞增，∴，∴，可得 

又∵在y軸上的截距，∴=，

∴，此即為在y軸上的截距的變化范圍。    10分

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立方程組來結(jié)合韋達(dá)定理來求解，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，動點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=4，記動點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）曲線E的一條切線為l，過F1，F(xiàn)2作l的垂線，垂足分別為M，N，求|F1M|•|F2N|的值；
（3）曲線E的一條切線為l，與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值，并求此時切線的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
OF1
=(-3，0)，
OF2
=(3，0)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足|
MF1
| +|
MF2
| =10．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡C；
（2）若點(diǎn)P、Q是曲線C上的任意兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0，求
PQ
2
OP
2•
OQ
2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知M=
3-2
2-2
，α=
-1
4
，試計算：M10α
選修4-4　參數(shù)方程與極坐標(biāo)
過點(diǎn)P（-3，0）且傾斜角為30°直線和曲線
x=t+
1
t
y=t-
1
t
 (t為參數(shù))相交于A、B兩點(diǎn)．求線段AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知M(-
3
，0)，N(
3
，0)是平面上的兩個定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PM|+|PN|=2
6
．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知圓方程為x2+y2=2，過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線，切線與（1）中的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)Q為AB的中點(diǎn)，求|OQ|長度的取值范圍．

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