Question

已知M (-3，0)﹑N (3，0)，P為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)PM與直線(xiàn)PN的斜率之積為常數(shù)m (m，m0)，點(diǎn)P的軌跡加上M、N兩點(diǎn)構(gòu)成曲線(xiàn)C.

求曲線(xiàn)C的方程并討論曲線(xiàn)C的形狀；

(2) 若，曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)Q (2，0) 斜率為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A﹑B，AB中點(diǎn)為R，直線(xiàn)OR (O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為，求證 為定值；

(3) 在(2)的條件下，設(shè)，且，求在y軸上的截距的變化范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）

若m=-1，則方程為，軌跡為圓；

若，方程為，軌跡為橢圓；

若，方程為，軌跡為雙曲線(xiàn)

（2）

（3）

【解析】

試題分析：解：（1）由得點(diǎn)P的軌跡方程為：.

若m=-1，則方程為，軌跡為圓；

若，方程為，軌跡為橢圓；

若，方程為，軌跡為雙曲線(xiàn)。          4分

（2）時(shí)，曲線(xiàn)C方程為，

設(shè)的方程為：，與曲線(xiàn)C方程聯(lián)立得：，

設(shè)，則①，②，

可得，  ∴為定值。        7分

注：①可用點(diǎn)差法證明；②直接用得出結(jié)果的，本小題只給1分.

（3）由得代入①②得：③，④，

③式平方除以④式得：，

∵在上單調(diào)遞增，∴，∴，可得 

又∵在y軸上的截距，∴=，

∴，此即為在y軸上的截距的變化范圍。    10分

考點(diǎn)：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立方程組來(lái)結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)求解，屬于中檔題。