Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值并指出此時相應(yīng)的x的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把f（x）中的一三項結(jié)合利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用誘導(dǎo)公式把余弦化為正弦后利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡合并后，把f（x）化為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式T=求出函數(shù)的周期和利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出滿足條件的x的范圍即可；
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍求出（Ⅰ）中化簡的關(guān)系式的角2x-的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象求出函數(shù)的最大值和最小值及此時相應(yīng)的x的范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）
===
所以．
由得
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π，單調(diào)遞減區(qū)間為（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有．
因為，
所以．
因為，
所以當(dāng)時，函數(shù)f（x）取得最小值；
當(dāng)時，函數(shù)f（x）取得最大值2．
點評：此題考查學(xué)生靈活運用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式、兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的周期公式及單調(diào)區(qū)間，是一道中檔題．