Question

如圖，四邊形ABGH，BCFG，CDEF都是菱形．沿BG把菱形ABGH折起，沿CF把菱形CDEF折起，點A與點E正好重合于點A．
（1）設BF與CG交于點O，求證：AO⊥面BCFG．
（2）求直線AB與平面BCFG所成角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：對于問題（1），要證明直線垂直于平面，根據(jù)本題的條件，需要證明AO垂直于面BCFG內(nèi)的 兩條相交直線，容易發(fā)現(xiàn)三角形ABF為等腰三角形，三角形AGC也是等腰三角形，因此容易證明AO⊥GC、AO⊥BF，從而得到結論；對于問題（2）求直線AB與平面BCFG所成角的正切值，本題由第一問得到三條相互垂直的直線OA、OB、OC，因此容易聯(lián)想到建立空間直角坐標系，轉化為向量夾角問題解決
解答：解：（Ⅰ）連AG，AC．則AG=AC，O是GC中點，故AO⊥GC．
又AB=AF，O是BF中點，故AO⊥BF．故AO⊥面BCFG．．
（Ⅱ）以OB，OC，OA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．設B（b，0，0），C（0，c，0），A（0，0，a）．
由得a=c．因此A（0，0，c）.=（-b，0，c），=（-b，-c，0），cos∠ABG=，=（-b，c，0），cos∠CBG=，由已知，∠ABG+∠CBG=π，
所以+=0，2b²=c²．
因為AO⊥面BCFG．，所以直線AB與平面BCFG所成角即為∠ABO，其正切值tan∠ABO=．
點評：本題考查直線垂直平面的判定定理，以及直線與平面所成角，由于條件中有面面垂直，故聯(lián)想到面面垂直的性質定理，容易得到線面垂直，對于線面角，本題用向量法，還可以借助第一問的結論直接證明∠ABO為線面角，從而解三角形求得，對于有幾個問題解答題，要注意前面問題的結論對后面問題的影響，以及幾問之間的聯(lián)系．