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已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R),O為坐標原點.
(Ⅰ)若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓且離心率,求m的取值范圍;
(Ⅱ)設m=4,直線l過點(0,1)且與曲線C交于不同的兩點A、B,求當△ABO的面積取得最大值時直線l的方程.
【答案】分析:(I)先化簡方程,根據橢圓的標準方程及離心率不等式求出m滿足的條件,再求解.
(II)設出直線方程,及直線與橢圓的交點坐標,再根據弦長公式及三角形面積公式,將面積S表示成K的函數,用換元法求函數S(K)的最值及取的最值的K值.
解答:解:(I)方程化為+=1,∵是焦點在x軸點上的橢圓,
∴m-2>5-m>0⇒<m<5
∵e=⇒4c2>2a2⇒a2>2b2⇒m>4,
∴m的取值范圍是4<m<5.
(II)當m=4時,曲線C的方程為:+=1,
①當傾斜角為 時,三角形不存在;
②當斜率存在時,設直線方程為y=kx+1,則原點O到直線的距離d=,
 設A(x1,y1),B(x2,y2)為直線與橢圓的兩個交點,
聯(lián)立直線和橢圓方程消去y可得(2k2+1)x2+4kx-6=0,
,,|AB|=
S=|AB|=
===
,t∈(0,1];
S=-=-2t2+8t=8-2(t-2)2,
在(0,1]單調遞增,
∴當t=1時上式為最大值,最大值是6,此時k=0,直線方程為y=1.
點評:本題考查橢圓的標準方程、幾何性質及直線與圓錐曲線的最值問題.利用函數思想,構造函數求最值是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•北京)已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1)若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓,求m的取值范圍;
(2)設m=4,曲線c與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證:A,G,N三點共線.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R),O為坐標原點.
(Ⅰ)若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓且離心率e>
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,求m的取值范圍;
(Ⅱ)設m=4,直線l過點(0,1)且與曲線C交于不同的兩點A、B,求當△ABO的面積取得最大值時直線l的方程.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R),O為坐標原點.
(Ⅰ)若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓且離心率e>
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,求m的取值范圍;
(Ⅱ)設m=4,直線l過點(0,1)且與曲線C交于不同的兩點A、B,求當△ABO的面積取得最大值時直線l的方程.

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科目:高中數學 來源:高考真題 題型:解答題

已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)。
(1)若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓,求m的取值范圍;
(2)設m=4,曲線c與y軸的交點為A,B(點A位于點B的上方),直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G,求證:A,G,N三點共線。

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