Question

已知函數(shù)f （x）=2cos²x-2sinxcosx+1．
（1）設(shè)方程f （x）-1=0在（0，z）內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，求x₁+x₂的值．
（2）把函數(shù)y=f （x）的圖象向左平移m （m＞0）個(gè)單位使所得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2）對(duì)稱，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式對(duì)函數(shù)f（x）的解析式化簡(jiǎn)整理，根據(jù)f（x）-1=0，求得cos（2x+

π

4

）=-

2

2

進(jìn)而求得x，則x₁和x₂可求，進(jìn)而求得x₁+x₂．
（2）設(shè)y=f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則可知g（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于（0，2）對(duì)稱，進(jìn)而求得m的集合，進(jìn)而求得m的最小值．

解答：解：（1）由題設(shè)得f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=

2

cos（2x+

π

4

）+2
∵f（x）-1=0，∴

2

cos（2x+

π

4

）+2=1
∴cos（2x+

π

4

）=-

2

2

，
由2x+

π

4

=2kπ+

3π

4

或2kπ+

5

4

π，k∈Z．得x=kπ+

π

4

或kπ+

π

2

∵x∈（0，π）
∴x₁=

π

4

，x₂=

π

2

∴x₁+x₂=

3π

4

（2）設(shè)y=f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，
則g（x）=cos（2x+

π

4

+2m）+2
∵y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2）對(duì)稱，∴2m+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z
∴2m=kπ+

π

4

，m=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z
∵m＞0，∴當(dāng)k=0時(shí)，m取得最小值

π

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二倍角公式，三角函數(shù)圖象的平移，及對(duì)稱性．考查了學(xué)生綜合把握三角函數(shù)知識(shí)的能力．