Question

（理）若圓x²+y²-4x-2y-4=0關(guān)于直線ax+2by-4=0對(duì)稱(chēng)，則ab的最大值是

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   4

Answer 1

A
分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和半徑，由已知圓關(guān)于直線ax+2by-4=0對(duì)稱(chēng)，得到圓心在直線上，故把圓心坐標(biāo)代入已知直線方程得到a與b的關(guān)系式，由b表示出a，將表示出的b代入ab中，得到m關(guān)于b的二次函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)求最大值的方法即可求出m的最大值，即為ab的最大值，即可寫(xiě)出ab的取值范圍．
解答：圓x²+y²-4x-2y-4=0 即 （x-2）²+（y-1）²=9，表示以C（2，1）為圓心，以3為半徑的圓．
再由此圓關(guān)于直線ax+2by-4=0對(duì)稱(chēng)，可得直線過(guò)圓心，即 2a+2b-4=0，即a+b=2．
故a=2-b，則ab=（2-b）b，故函數(shù)ab 是關(guān)于b的二次函數(shù)，故當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)ab 取得最大值等于1．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得到圓心在已知直線上是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．