Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F₁（-2，0），右準(zhǔn)線方程x=8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，連接AM交橢圓于點(diǎn)P，求

PM

AP

的取值范圍；
（3）圓x²+（y-t）²=1上任一點(diǎn)為D，曲線C上任一點(diǎn)為E，如果線段DE長(zhǎng)的最大值為2

5

+1，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由題意得，c=2，

a2

c

=8，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，則

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，由-4＜x₀≤4，知

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

．由此能求出

PM

AP

的取值范圍．
（3）設(shè)圓的圓心為O，因圓的半徑為1，故OE的最大值為2

5

，設(shè)E（x₀，y₀），則

x

2 0

=16(1-

y02

12

)，OE=

x 2 0 +(y0-t)2

=

16- 4 3 y02+y02-2ty0+t2

，由-2

3

≤y0≤2

3

，能夠推導(dǎo)出t=±1．

解答：解：（1）由題意得，c=2，

a2

c

=8得，a²=16，b²=12，
∴所求橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．…（5分）
（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，則

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1，…（7分）
∵-4＜x₀≤4，∴

PM

AP

=

8-x0

x0+4

=

12

x0+4

-1≥

1

2

．
∴

PM

AP

的取值范圍是[

1

2

，+∞)…（10分）
（3）設(shè)圓的圓心為O，因圓的半徑為1，因此，OE的最大值為2

5

，
設(shè)E（x₀，y₀），則

x02

16

+

y02

12

=1，即

x

2 0

=16(1-

y02

12

)
則OE=

x 2 0 +(y0-t)2

=

16- 4 3 y02+y02-2ty0+t2

=

- 1 3 y02-2ty0+16+t2

=

- 1 3 (y0+3t)2+16+4t2

…（12分）
∵-2

3

≤y0≤2

3

∴當(dāng)-2

3

≤-3t≤2

3

時(shí)，則y₀=-3t時(shí)，有OEmax=

16+4t2

=2

5

，得t=±1，滿足條件；…（14分）
當(dāng)-3t＞2

3

時(shí)，則y0=2

3

時(shí)，有OEmax=

- 1 3 (2 3 +3t)2+16+4t2

=2

5

，得，t=2

3

±2

5

，但均不滿足條件，所以無(wú)解；
當(dāng)-3t＜-2

3

時(shí)，同理可得無(wú)解．…（16分）
所以，t=±1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．