【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(12分)
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.
(。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;
(ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計算得 = =9.97,s= = ≈0.212,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用樣本平均數(shù) 作為μ的估計值 ,用樣本標準差s作為σ的估計值 ,利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查?剔除( ﹣3 +3 )之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592, ≈0.09.
【答案】
(1)
解:由題可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9974,
則落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率為1﹣0.9974=0.0026,
因為P(X=0)= ×(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592,
所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,
又因為X~B(16,0.0026),
所以E(X)=16×0.0026=0.0416;
(2)
(ⅰ)由(1)知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026,
由正態(tài)分布知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外為小概率事件,
因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理;
(ⅱ)因為用樣本平均數(shù) 作為μ的估計值 ,用樣本標準差s作為σ的估計值 ,
且 = =9.97,s= = ≈0.212,
所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334, +3 =9.97+3×0.212=10.606,
所以9.22( ﹣3 +3 )=(9.334,10.606),
因此需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查,剔除( ﹣3 +3 )之外的數(shù)據(jù)9.22,
則剩下的數(shù)據(jù)估計μ= =10.02,
將剔除掉9.22后剩下的15個數(shù)據(jù),利用方差的計算公式代入計算可知σ2≈0.008,
所以σ≈0.09.
【解析】(1.)通過P(X=0)可求出P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,利用二項分布的期望公式計算可得結(jié)論;
(2.)(。┯桑1)及知落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理;
(ⅱ)通過樣本平均數(shù) 、樣本標準差s估計 、 可知( ﹣3 +3 )=(9.334,10.606),進而需剔除( ﹣3 +3 )之外的數(shù)據(jù)9.22,利用公式計算即得結(jié)論.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)給出以下四個命題:
①已知中,角A,B,C的對邊為a,b,c,當,,時,滿足條件的三角形共有1個;
②已知中,角A,B,C的對邊為a,b,c,若三角形,這個三角形的最大角是;
③設(shè)是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,若,,則;
④設(shè)是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,若,,則
其中正確的序號是__________(寫出所有正確說法的序號).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分)
(1)當a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范圍.
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【題目】已知某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表:
(1)畫出散點圖;
(2)根據(jù)如下的參考公式與參考數(shù)據(jù),求利潤額y與銷售額x之間的線性回歸方程;
(3)若該公司還有一個零售店某月銷售額為10千萬元,試估計它的利潤額是多少?
(參考公式:,其中:)
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【題目】已知命題p:(x+1)(x-5)≤0,命題q:1-m≤x<1+m(m>0).
(1)若p是q的充分條件,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若m=5,如果p和q有且僅有一個真命題,求實數(shù)x的取值范圍.
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【題目】某校有高中生1470人,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法抽取49人作問卷調(diào)查,將高一、高二、高三學(xué)生(高一、高二、高三分別有學(xué)生495人、493人、482人)按1,2,3,…,1470編號,若第一組用簡單隨機抽樣的方法抽取的號碼為23,則所抽樣本中高二學(xué)生的人數(shù)為
A. 15B. 16C. 17D. 18
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),且直線與曲線交于兩點,以直角坐標系的原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2) 已知點的極坐標為,求的值
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【題目】為了解學(xué)生喜歡校內(nèi)、校外開展活動的情況,某中學(xué)一課外活動小組在學(xué)校高一年級進行了問卷調(diào)查,問卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動小組隨機抽取了200名學(xué)生的問卷成績(單位:分)進行統(tǒng)計,將數(shù)據(jù)按,,,,分成五組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為類學(xué)生,低于60分的稱為類學(xué)生.
(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與是否為類學(xué)生有關(guān)系?
類 | 類 | 合計 | |
男 | 110 | ||
女 | 50 | ||
合計 |
(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中類學(xué)生的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列、期望和方差.
參考公式:,其中.
參考臨界值:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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