Question

如圖1，三棱柱是ABC-A₁B₁C₁直三棱柱，它的三視圖如圖2所示（N為B₁C₁中點）．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）求三棱錐B-A₁NC的體積．

Answer 1

分析：（I）先由三視圖可知，三棱柱的底面為邊長為a的等腰直角三角形，側(cè)面ACC₁A₁，底面BCC₁B₁是邊長為a的正方形，且面ACC₁A₁⊥底面BCC₁B₁，取A₁B₁中點Q，可先NQ∥A₁C₁，MQ∥CC₁即可證
（Ⅱ）取AC的中點G，可分別證明MN⊥A₁B，MN⊥平面A₁C，即可
（Ⅲ）由VB-NCA1=VA1-BNC可求

解答：（Ⅰ）證明：由三視圖可知，三棱柱的底面為邊長為a的等腰直角三角形，側(cè)面ACC₁A₁，底面BCC₁B₁是邊長為a的正方形，且面ACC₁A₁⊥底面BCC₁B₁
設(shè)A₁B₁中點Q，連接MN，MQ，NQ
由題意可得NQ∥A₁C₁，MQ∥CC₁
∴NQ∥平面ACC₁A₁；MQ∥平面ACC₁A₁
∵M(jìn)Q∩NQ=Q，
∴平面MNQ∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）取AC的中點G，連接MG，NG，則MG∥BC
∵BC⊥面ACC₁A₁，
∴MG⊥ACC₁A₁，MG⊥A₁C
∵NC=NA₁
∴NG⊥A₁C，且NG∩MG=G
∴A₁C⊥平面MNG
∴MN⊥A₁C
連接NB，NA₁，則可得NB=NA₁=

a2+ a2 4

=

5

2

a
∵M(jìn)為A₁B的中點
∴MN⊥A₁B
∵A₁C∩A₁B=A₁
∴MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）解：∵S_△BNC=

1

2

BC•BB1=

1

2

a2
∵平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁，A₁C₁⊥CC₁
∴A₁C₁⊥平面BCC₁B₁
∴A₁C₁即是點A₁到平面BNC的距離
VB-NCA1=VA1-BNC=

1

3

×

1

2

a2×a=

1

6

a3

點評：本題是中檔題，考查空間幾何體的體積，直線與平面的平行，平面與平面的垂直，考查基本定理的應(yīng)用，考查計算能力，空間想象能力．