直線l:y=mx+1,雙曲線C:3x2-y2=1,問是否存在m的值,使l與C相交于A,B兩點(diǎn),且以AB為直徑的圓過原點(diǎn).

解:假設(shè)存在m值滿足條件,
設(shè)A、B坐標(biāo)分別為(x1,y1)(x2,y2),
得:(3-m2)x2-2mx-2=0,
則3-m2≠0,且△=4m2-4(3-m2)(-2)>0,得m2<6且m2≠3①,
由韋達(dá)定理有:,
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過原點(diǎn),所以O(shè)A⊥OB,即,即x1x2+y1y2=0,
所以x1x2+(mx1+1)(mx2+1)=0,即(1+m2)x1x2+m(x1+x2)+1=0,
所以(1+m2+m+1=0,解得m=±1,
故存在m=1或m=-1使l與C相交于A,B兩點(diǎn),且以AB為直徑的圓過原點(diǎn).
分析:假設(shè)存在m值滿足條件,設(shè)A、B坐標(biāo)分別為(x1,y1)(x2,y2),聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消掉y后得x的二次方程,有△>0,由以AB為直徑的圓過原點(diǎn)得OA⊥OB,即,從而可轉(zhuǎn)化為關(guān)于A、B坐標(biāo)的關(guān)系式,由直線方程可進(jìn)一步化為x1,x2的式子,將韋達(dá)定理代入即可得m的方程,解出m后檢驗(yàn)是否滿足△>0即可.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,解決本題的關(guān)鍵是正確理解“以AB為直徑的圓過原點(diǎn)”并能合理轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
4
+
y2
b
=1
,直線l:y=mx+1,若對(duì)任意的m∈R,直線l與橢圓C恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(  )
A、[1,4)
B、[1,+∞)
C、[1,4)∪(4,+∞)
D、(4,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn),且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0,
2
)為圓心、1為半徑的圓相切,又知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
(1)求雙曲線C的方程.
(2)設(shè)直線l:y=mx+1與雙曲線C的左支交于A,B兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l:y=mx+1與曲線C:ax2+y2=2(m,a∈R)交于A、B兩點(diǎn).
(1)當(dāng)m=0時(shí),有∠AOB=
π
3
,求曲線P的方程;
(2)是否存在常數(shù)M,使得對(duì)于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M恒成立?如果存在,求出的M得最小值;如果不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓C的中心在原點(diǎn),并以雙曲線
y2
4
-
x2
2
=1
的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),以拋物線x2=-6
6
y
的準(zhǔn)線到原點(diǎn)的距離為
a2
c

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+2(k≠0)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l′:y=mx+1(m≠0)對(duì)稱,求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l:y=mx+1與曲線C:ax2+y2=2(m、a∈R)交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)m=0時(shí),有∠AOB=
π
3
,求曲線C的方程;
(2)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí),對(duì)任意m∈R,都有
OA
OB
為定值T?指出T的值;
(3)已知點(diǎn)M(0,-1),當(dāng)a=-2,m變化時(shí),動(dòng)點(diǎn)P滿足
MP
=
OA
+
OB
,求動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的變化范圍.

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