Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1,S_n=4a_n+S_n-1-a_n-1(n≥2且n∈N^*).

   （1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；

   （2）若b_n=n a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=b₁+b₂+…+b_n ；

   （3）若c_n=tⁿ[n(lg3+lgt)+lga_n+1](t＞0),且數(shù)列{c_n}中的每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng), 求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）。

∴{a_n}是以為公比的等比數(shù)列。        

   （2）由（1）得， 則

∴ ，    ……①

∴，  ……②

①－②得，

∴。 

   （3）。

由題意 ＞0 （n=1，2，3，…）恒成立，

即＞0.對任意自然數(shù)n都成立。

∵t＞0，  ∴tⁿ＞0。

①當(dāng)t＞1時，則lgt＞0，（n+1）t－n＞0對任意n恒成立，

∴ ∴t＞1。