Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)，且a₁=1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且bn=

an+1-1

an+1+2

，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有：n-

3

2

＜Tn＜n-

1

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在給出的遞推式中，分別取n=1，2，把a(bǔ)₁=1代入即可求得a₂，a₃的值；
（Ⅱ）根據(jù)給出的遞推式，取n=n-1可得另一遞推式，兩式作差后可得an+1=2an+2n(n≥1)，把此等式兩邊同時(shí)除以2ⁿ，得到新數(shù)列{

an

2n-1

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的a_n代入bn=

an+1-1

an+1+2

，整理后得b_n=

(n+1)•2n-1

(n+1)•2n+2

=1-

3

(n+1)•2n+2

，把該式放大縮小后利用等比數(shù)列的求和公式可證明n-

3

2

＜Tn＜n-

1

4

．

解答：（Ⅰ）解：∵Sn=an+1-2n+1+1（n∈N^*），且a₁=1，
∴S1=a2-22+1，a1=a2-22+1，∴a₂=4，
S2=a3-23+1，a1+a2=a3-23+1，∴a₃=12；
（Ⅱ）解：由Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)①，
得Sn-1=an-2n+1，（n∈N^*，n≥2）②，
①-②得：an=an+1-an-2n，即an+1=2an+2n(n≥2)，
檢驗(yàn)知a₁=1，a₂=4滿足an+1=2an+2n(n≥2)．
∴an+1=2an+2n(n≥1)．
變形可得

an+1

2n

=

an

2n-1

+1(n≥1)．
∵

a1

21-1

=

1

20

=1，
∴數(shù)列{

an

2n-1

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
∴

an

2n-1

=1+(n-1)×1=n，
則an=n•2n-1(n≥1)；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知an=n•2n-1(n≥1)，代入bn=

an+1-1

an+1+2

得b_n=

(n+1)•2n-1

(n+1)•2n+2

=1-

3

(n+1)•2n+2

，
∵22n+1-(n+1)•2n-2=(2n+1-n-1-

1

2n-1

)2n＞0，
∴（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹
又∵2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2，
∴2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹，
則

3

22n+1

＜

3

(n+1)•2n+2

＜

3

2n+1

∴1-

3

2n+1

＜1-

3

(n+1)•2n+2

＜1-

3

22n+1

∴1-

3

2n+1

＜bn＜1-

3

22n+1

∴n-(

3

22

+

3

23

+…+

3

2n+1

)＜Tn＜n-(

3

23

+

3

25

+…+

3

22n+1

)
即n-3×

1 4 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

＜Tn＜n-3×

1 8 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

∴n-

3

2

[1-(

1

2

)n]＜Tn＜n-

1

2

[1-(

1

4

)n]
∴n-

3

2

＜Tn＜n-

1

2

＜n-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由遞推式確定等比關(guān)系，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了利用放縮法證明不等式，解答此題的關(guān)鍵是不等式的證明，對(duì)數(shù)列{b_n}通項(xiàng)的放縮體現(xiàn)了學(xué)生觀察問(wèn)題和分析問(wèn)題的能力，此題是有一定難度題目．