設定義在R上的函數(shù)f（x）存在反函數(shù)，且對于任意x∈R恒有f（x+1）+f（-x-4）=2，則f-1（2011-x）+f-1（x-2009）=
-3
-3
．
分析：由換元得f（t）+f（-t-3）=2，注意（2011-x ）與 （x-2009 ）的和等于2，若（2011-x ）與 （x-2009 ）一個是t，則另一個是-t-3，再應用反函數(shù)的定義解出 t 和-t-3．
解答：解：∵f（x+1）+f（-x-4）=2，∴f（t）+f（-t-3）=2，
令 2011-x=m，x-2009=n，∴m+n=2，
∴可令 f（t）=m，f（-t-3）=n，由反函數(shù)的定義知，
∴t=f-1（m），-t-3=f-1（n）
∴f′（m）+f′（n）=-3，
即：f-1（2011-x）+f-1（x-2009）的值是-3，
故答案為：-3．
點評：本題考查反函數(shù)的定義，體現(xiàn)換元的數(shù)學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義在R上的函數(shù)f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若關于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數(shù)解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，則x12+x22+x32=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，則f（5）=
2
2
；f（2011）=
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•順義區(qū)二模）設定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導函數(shù)．當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠
π
2
時，(x-
π
2
)f′(x)＜0．則函數(shù)y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數(shù)為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），當x∈[-
π
2
，
π
2
]時，0＜f（x）＜1；當x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0時，x•f′（x）＜0，則y=f（x）與y=cosx的圖象在[-2π，2π]上的交點個數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義在R上的函數(shù)f（x）同時滿足以下條件：①f（x+1）=-f（x）對任意的x都成立；②當x∈[0，1]時，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，m是常數(shù)）．記f（x）在區(qū)間[2013，2016]上的零點個數(shù)為n，則（　　）
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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