(13分)如圖,某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道,車道總寬20m,要求通行車輛限高5m,隧道全長2.5km,隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻,高度為3米,隧道上部拱線近似地看成半個(gè)橢圓。
(1)若最大拱高h(yuǎn)為6 m,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬是多少?
(2)若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程 量最小,則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬?(已知:橢圓
+
=1的面積公式為S=
,柱體體積為底面積乘以高。)
(3)為了使隧道內(nèi)部美觀,要求在拱線上找兩個(gè)點(diǎn)M、N,使它們所在位置的高度恰好是限高5m,現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點(diǎn)為支點(diǎn),用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉,形成一個(gè)梯形,若l=30m,梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價(jià)是梯形頂部單位面積鋼板造價(jià)的倍,試確定M、N的位置以及
的值,使總造價(jià)最少。
(1)m;(2)當(dāng)拱高為(
+3)m、拱寬為20
m時(shí),隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小;(3)
,
.
解析試題分析:(1)先建立直角坐標(biāo)系,找到對(duì)應(yīng)橢圓方程再把b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程,即可求出隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少;
(2)轉(zhuǎn)化為求半橢圓的面積最小值問題,對(duì)橢圓方程用基本不等式即可求出對(duì)應(yīng)的半橢圓面積以及滿足要求的拱高h(yuǎn)和拱寬l.
(3)先求出總造價(jià)的表達(dá)式,再利用導(dǎo)函數(shù)研究其最值即可.
試題解析:解:(1)如下圖建立直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)P(10,2),橢圓方程為+
=1,將b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程,得a=
,l=2a=
,隧道的拱寬約為
m。 5分
(2)要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小,由柱體的體積公式可知:只需半橢
圓的面積最小即可。
由橢圓方程+
=1,得
+
=1。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/57/9/1caia3.png" style="vertical-align:middle;" />+
≥
,即ab≥40,…8分
所以半橢圓面積S=≥
。當(dāng)S取最小值時(shí),有
=
=
,得a=10
,b=
,此時(shí)l=2a=20
, h=b+3=
+3,故當(dāng)拱高為(
+3)m、拱寬為20
m時(shí),隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小 13分
(3)設(shè),
設(shè)=
+
·
=2(10
),則
令得
或17(舍)∴
時(shí),
取最小值,此時(shí)
,代入橢圓方程得
∴
… 13分
考點(diǎn):1.圓與圓錐曲線的綜合;2.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知曲線:
.
(1)若曲線是焦點(diǎn)在
軸上的橢圓,求
的取值范圍;
(2)設(shè),過點(diǎn)
的直線
與曲線
交于
,
兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),若
為直角,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,橢圓
以
的長軸為短軸,且與
有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和
上,
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線,直線
與E交于A、B兩點(diǎn),且
,其中O為原點(diǎn).
(1)求拋物線E的方程;
(2)點(diǎn)C坐標(biāo)為,記直線CA、CB的斜率分別為
,證明:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(13分)點(diǎn)P為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),M為點(diǎn)P在y軸上的投影,動(dòng)點(diǎn)Q滿足
.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程;
(2)一條直線l過點(diǎn),交曲線C于A、B兩點(diǎn),且A、B同在以點(diǎn)D(0,1)為圓心的圓上,求直線l的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,其中左焦點(diǎn)
(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某校同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中、
是過拋物線
焦點(diǎn)
的兩條弦,且其焦點(diǎn)
,
,點(diǎn)
為
軸上一點(diǎn),記
,其中
為銳角.
(1)求拋物線方程;
(2)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn),其準(zhǔn)線
與x軸交于K點(diǎn).
(1)求證:KF平分∠MKN;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線與橢圓
有公共焦點(diǎn)
,且橢圓過點(diǎn)
.
(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)、
是橢圓的上下頂點(diǎn),點(diǎn)
為右頂點(diǎn),記過點(diǎn)
、
、
的圓為⊙
,過點(diǎn)
作⊙
的切線
,求直線
的方程;
(3)過橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)、
,試問直線
是否經(jīng)過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說明理由.
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