Question

已知一圓與直線3x+4y-2=0相切于點P（2，-1），且截x軸的正半軸所得的弦的長為8，求此圓的標準方程．

Answer 1

【答案】分析：我們可以使用待定系數(shù)法求圓的標準方程，即先設圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，再根據(jù)直線3x+4y-2=0相切于點P（2，-1），可得圓心在過P點切與直線3x+4y-2=0垂直的直線上，圓心到直線3x+4y-2=0的距離等于半徑，再由截x軸的正半軸所得的弦的長為8，我們可以構造一個關于a，b，r的方程組，解方程組求出a，b，r的值，即可得到此圓的標準方程．
解答：解：設圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²
過P點，且垂直于直線3x+4y-2=0的直線為y+1=（x-2），即4x-3y-11=0
圓心（a，b）在此直線上，且到點P的距離d=r，即：
①4a-3b-11=0，
②=r
將y=0代入圓方程，得：（x-a）²+b²=r²，
解得x₁=a+，x₂=a-
圓截x軸正半軸所得弦長8=|x₁-x₂|=2，即r²-b²=16 ③
①②③聯(lián)立解得：r=5，a=5，b=3
所以圓方程為（x-5）²+（y-3）²=25
點評：本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，圓的標準方程等，求圓的方程一般使用待定系數(shù)法，即先設圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，再根據(jù)題目中的其它條件構造一個關于a，b，r的方程組，解方程組求出a，b，r的值，求出圓的方程．