Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+2，若f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）及實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），由其圖象關(guān)于x=1對稱即可求出a值，從而得到f′（x）．
（Ⅱ）借助（Ⅰ）問，求出f（x）在區(qū)間[-1，2]上的極值、端點處函數(shù)值，其中最大者為最大值，最小者為最小值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax，
因為f′（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以-

1

3

a=1，a=-3，從而f′（x）=3x²-6x．
故f′（x）=3x²-6x，a=-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x（x-2），
則當x∈[-1，0）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（0）=2為極大值，又f（-1）=-2，f（2）=-2．
所以y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為2，最小值為-2．

點評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，以及分析問題解決問題的能力．