Question

已知函數(shù)f（x）=4x²-kx-8，x∈[1，5]，其中k∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）具有單調(diào)性，求k的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小值（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=4x²-kx-8，可得函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸是，利用x∈[1，5]，函數(shù)f（x）具有單調(diào)性，可得或，從而可求k的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論進(jìn)行分類討論：①當(dāng)k≤8時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，故f（x）_min=f（1）；②當(dāng)k≥40時(shí)，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，f（x）_min=f（5）；③當(dāng)8＜k＜40時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最小，從而可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=4x²-kx-8
∴函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸是…（2分）
∵x∈[1，5]，函數(shù)f（x）具有單調(diào)性
∴或，即k≤8或k≥40
∴k的取值范圍是k≤8或k≥40…（6分）
（Ⅱ）①當(dāng)k≤8時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=-4-k；…（8分）
②當(dāng)k≥40時(shí)，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，f（x）_min=f（5）=92-5k；…（10分）
③當(dāng)8＜k＜40時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最小，；…（12分）
綜上所述，當(dāng)k≤8時(shí)，f（x）_min=-4-k；
當(dāng)k≥40時(shí)，f（x）_min=92-5k；
當(dāng)8＜k＜40時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的單調(diào)性，考查二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的對(duì)稱軸，確定函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性．