Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3）的最大值為m，最小值為n，其中a≠0，a∈R．角β的頂點與平面直角坐標系xoy中的原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點A（m-1，n+3），則sin（β+

π

6

）=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值與最大值，確定出m與n的值，進而確定出A坐標，利用任意角的三角函數(shù)定義求出sinβ與cosβ的值，原式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：f（x）=-x²+2x+a=-（x-1）²+a+1，
∵0≤x≤3，
∴x=1時，f（1）=a+1=m，x=3時，f（3）=a-3=n，
∴A（a，a），
當a＞0時，sinβ=cosβ=

2

2

，此時sin（β+

π

6

）=

3

2

sinβ+

1

2

cosβ=

6 + 2

4

；
當a＜0時，sinβ=cosβ=-

2

2

，此時sin（β+

π

6

）=

3

2

sinβ+

1

2

cosβ=-

6 + 2

4

．
故答案為：±

6 + 2

4

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，以及任意角的三角函數(shù)定義，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．