精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
利用函數的單調性定義證明函數f(x)=ax2＋bx+c(a＞0)在區(qū)間(-∞,-)上是減函數.

思路解析:證明的關鍵是作差后分解因式,并正確地利用區(qū)間(-∞,-］確定其符號.

證明:在(-∞,-］上任意選取x1,x2,且x1＜x2,

則f(x1)=ax12+bx1+c,f(x2)=ax22+bx2+c.

∴f(x1)-f(x2)=ax12+bx1+c-(ax22+bx2+c)=a(x12-x22)+b(x1-x2)=(x1-x2)［a(x1+x2)+b］=a(x1-x2)［(x1+x2)+］.

∵-∞＜x1＜x2≤-,

∴x1-x2＜0,-∞＜x1+x2＜-.

∴x1+x2+＜0.

又∵a＞0,∴a(x1-x2)［(x1+x2)+ ］＞0,即f(x1)＞f(x2).

∴函數f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在區(qū)間(-∞,- )上是減函數.

深化升華

在利用函數單調性的定量化定義證明函數的單調性時,要特別注意所給區(qū)間在證明過程中所發(fā)揮的作用.對于同一個函數所給區(qū)間的不同則可能有不同的單調性.甚至沒有單調性.在例題2中正因為利用了-∞＜x1＜x2≤-,才說明了x1+x2+的符號,進而說明了a(x1-x2)［(x1+x2)+ ］的符號.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

利用函數的單調性定義證明函f(x)=
xx-1
，x∈[2，4]是單調遞減函數，并求函數的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

利用函數的單調性定義研究函數f(x)=在定義域內的單調性.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f(x)是R上的增函數,且恒有f(x)＞0,設F(x)=.利用函數的單調性定義證明函數F(x)是R上的減函數.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

利用函數的單調性定義證明函數學公式，x∈[2，4]是單調遞減函數，并求函數的值域．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案