Question

已知：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，c_n=a_n-b_n，c₁=0，，，．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求和：a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1．

Answer 1

解：（1）c₁=0，則c₁=a₁-b₁=0
=a₁+a₂+b₁+b₂=2a₁+d+b₁+b₁q
=3a₁+3d+b₁+b₁q+b₁q²
=4a₁+6d+b₁+b₁q+b₁q²+b₁q³．
解得：a₁=b₁=1，d=，q=
∴，
（2）當(dāng)n偶數(shù)時，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n（a_n-1-a_n+1）
=-（a₂+a₄+…+a_n）
=
當(dāng)n奇數(shù)時，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n-1（a_n-2-a_n）+a_na_n+1
=-+
=
分析：（1）根據(jù)c_n=a_n-b_n，c₁=0，，，建立方程組，解之即可求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）討論n的奇偶，當(dāng)n偶數(shù)時，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n（a_n-1-a_n+1），當(dāng)n奇數(shù)時，a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃ -a₅）…+a_n-1（a_n-2-a_n）+a_na_n+1進(jìn)行求解即可．
點評：本題主要考查了數(shù)列的求和，以及等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，同時考查了計算能力，屬于中檔題．