Question

設(shè)圓x²+y²=1的切線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A，B，當(dāng)|AB|取最小值時，切線l的為

x+y-

2

=0

．

Answer 1

分析：設(shè)出A與B的坐標(biāo)，根據(jù)題意表示出切線l的截距式方程，并利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|AB|，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)及半徑r，根據(jù)直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到

1

a2

+

1

b2

=1，可將|AB|²表示為（a²+b²）（

1

a2

+

1

b2

），去括號化簡后根據(jù)基本不等式可得出|AB|取得最小值時a與b的值，即可確定出此時切線l的方程．

解答：解：設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
則切線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，|AB|=

a2+b2

，
由圓的方程x²+y²=1，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=1，
∴圓心到切線l的距離d=r，即

1

( 1 a )2+( 1 b )2

=1，
變形得：

1

a2

+

1

b2

=1，
則|AB|²=（a²+b²）（

1

a2

+

1

b2

）=2+

b2

a2

+

a2

b2

≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

2

時，上式取等號，故|AB|_min=2，
此時切線l的方程為x+y-

2

=0．
故答案為：x+y-

2

=0

點(diǎn)評：此題考查了圓的切線方程，涉及的知識有：直線的截距式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及基本不等式的運(yùn)用，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．