在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為AB的中點(diǎn),AB=2,A1A=,如圖.
求證:(1)CD⊥AB1;
(2)AB1⊥BC1.
證明:(1)∵ABC為正三角形,∴CA=CB,D為中點(diǎn),∴CD⊥AB 2分 又∵三棱柱正三棱柱,∴A1A⊥平面ABC∴A1A⊥CD,又A1A∩AB=A, ∴CD⊥平面A1ABB1 5分 ∴CD⊥AB1 6分 (2)取中點(diǎn),連結(jié), 7分 同法可證⊥平面A1ABB1從而⊥AB1 8分 在矩形A1ABB1中,AB=2,A1A=,為中點(diǎn), ∴A1D1=D1B1=1, 由及∠ABB1=∠BB1D1=900, 可得∽,∴∠B1AB=∠B1BD1, 而∠B1BD1+∠ABD1=900,∴∠B1AB+∠ABD1=900,∴AB1⊥BD1 12分 BD1∩C1D1=D1,∴AB1⊥平面BC1D1,∴AB1⊥BC1 14分 |
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