Question

如圖，點A，B在拋物線y²=2px（p＞0）上，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，則點D在（　�。�

A．某個圓上運動

B．某個橢圓上運動

C．某個雙曲線上運動

D．某個拋物線上運動

Answer 1

分析：設出A，B，D的坐標，利用OA⊥OB，可得y₁y₂=-4p²，利用OD⊥AB，A，D，B共線，即可求得結論．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y），（y₁≠y₂）則
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵點A，B在拋物線y²=2px
∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂，
∴y₁y₂=-4p²，
∵OD⊥AB，∴

y

x

•

y2-y1

x2-x1

=-1
∴

y

x

•

2p

y2+y1

=-1
∵A，D，B共線，

AD

=(x-x1，y-y1)，

BD

=(x-x2，y-y2)
∴（x-x₁）（y-y₂）=（y-y₁）（x-x₂）
∴x•（y₁-y₂）+y•

y22-y12

2p

+

y1y2(y1-y2)

2p

=0
∴x-y•

y1+y2

2p

-2p=0
∴x-y•（-

y

x

）-2p=0
∴x²+y²-2px=0，（x≠0）．
即D點的軌跡方程為x²+y²-2px=0，（x≠0）．
故選D．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．