Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減；
（1）求a的值；
（2）是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx²-1的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有2個交點，若存在，求出實數(shù)b的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f′（1）=0，
即f′（1）=4x³-12x²+2ax|_x=1=2a-8=0，
∴a=4；
（2）由（1）知f（x）=x⁴-4x³+4x²-1，
由f（x）=g（x）可得x⁴-4x³+4x²-1=bx²-1
即x²（x²-4x+4-b）=0．
∵f（x）的圖象與g（x）的圖象只有兩個交點，
∴方程x²-4x+4-b=0有兩個非零等根或有一根為0，另一個不為0，
∴△=16-4（4-b）=0，或4-b=0，
∴b=0或b=4．
分析：（1）由函數(shù)f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，知函數(shù)f（x）在點x=1處取得極大值，可得f′（1）=0，求導(dǎo)，即可求a的值；
（2）假設(shè)存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx²-1的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有2個交點，即方程f（x）=g（x）有兩個不等實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為對方程根的探討，可求實數(shù)b的值．
點評：考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性問題，有關(guān)函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，特別對于高次方程根的問題，一般采取因式分解的方法，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的探討，屬中檔題．