Question

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，AB∥EF，直角梯形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，∠CBA=90°，AB=BC=2，AD=EF=1．
（1）證明：AF⊥平面CBF；
（2）設(shè)平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個(gè)錐體的體積分別為V_F-ABCD、V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合題意可證出CB⊥平面ABEF，從而有AF⊥BC，由圓直徑的性質(zhì)得到AF⊥BF，再根據(jù)線面垂直的判定定理，得到AF⊥平面CBF．
（2）過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，可得FG即為四棱錐F-ABCD的高，用錐體體積公式結(jié)合題中數(shù)據(jù)可算出四棱錐F-ABCD的體積為FG，再用體積轉(zhuǎn)換算出三棱錐F-CBE的體積為

1

3

FG，從而得到四棱錐F-ABCD與三棱錐F-CBE的體積之比．

解答：解：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，CB⊆平面ABCD，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABEF，（2分）
∵AF⊆平面ABEF，AF⊥BC．（3分）
∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，（4分）
又∵CB∩BF=B，
∴AF⊥平面CBF．（6分）
（2）過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，F(xiàn)G⊆平面ABEF，F(xiàn)G⊥AB，
∴FG⊥平面ABCD，
∴V_F-ABCD=

1

3

×

1

2

×（1+2）×2×FG=FG，（8分）
而V_F-BCE=V_C-BEF=

1

3

S_△BEF×CB=

1

3

×

1

2

×FG×2=

1

3

FG，（10分）
由此可得V_F-ABCD：V_F-CBE=3：1（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)及空間想象能力，具體應(yīng)用到線面垂直的判定定理與面面垂直的性質(zhì)定理以及體積求法等知識(shí)，屬于中檔題．