【題目】(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)時,函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為,求函數(shù)的值域.
【答案】(1) 在單調(diào)遞增,(2) 的值域是
【解析】試題分析:(1)求出f(x)的定義域,對原函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0可得f(x)的單調(diào)性;
(2)求出由(1)知, 單調(diào)遞增,又由函數(shù)零點存在定理可得存在唯一,使得,則當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;當(dāng)時, , , 單調(diào)遞增.求出函數(shù)最小值,再由最小值為關(guān)于a的增函數(shù)可得的值域.
試題解析:
(1)的定義域為
,
當(dāng)且僅當(dāng)時, ,
所以在單調(diào)遞增.
(2),
由(1)知, 單調(diào)遞增,
對任意, , ,
因此,存在唯一,使得,即,
當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;
當(dāng)時, , , 單調(diào)遞增.
因此在處取得最小值,最小值為
.
于是,由,知單調(diào)遞增
所以,由,得.
因為單調(diào)遞增,對任意,存在唯一的, ,
使得,所以的值域是,
綜上,當(dāng)時, 有最小值, 的值域是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下三個關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①設(shè)為兩個定點,為非零常數(shù),若,則動點的軌跡是雙曲線;
②方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
③雙曲線與橢圓有相同的焦點;
④已知拋物線,以過焦點的一條弦為直徑作圓,則此圓與準(zhǔn)線相切,其中真命題為__________.(寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為(限定).
(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并求與交點的極坐標(biāo);
(2)射線與曲線與分別交于點(異于原點),求的取值范圍.
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【題目】已知由自然數(shù)組成的元集合,非空集合,且對任意的,都有.
(1)當(dāng)時,求所有滿足條件的集合;
(2)當(dāng)時,求所有滿足條件的集合的元素總和;
(3)定義一個集合的“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該集合的元素,然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù).例如集合的交替和是,集合的交替和為.當(dāng)時,求所有滿足條件的集合的“交替和”的總和.
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【題目】20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(1)求頻率直方圖中a的值;
(2)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù);
(3)從成績在[50,70)的學(xué)生中人選2人,求這2人的成績都在[60,70)中的概率.
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【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元。設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達式。
(Ⅱ)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 ,若,且的圖象相鄰的對稱軸間的距離不小于.
(1)求的取值范圍.
(2)若當(dāng)取最大值時, ,且在中, 分別是角的對邊,其面積,求周長的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),記的解集為.
(1)求集合(用區(qū)間表示);
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的最小值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性并求極值;
(Ⅱ)若點在函數(shù)上,當(dāng),且時,證明: (是自然對數(shù)的底數(shù))
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