Question

已知空間直角坐標(biāo)系0-xyz中的動(dòng)點(diǎn)P（x，y，z）滿足：x+

2

y+z=1，則|OP|的最小值等于

1

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)P與原點(diǎn)在平面x+

2

y+z=1內(nèi)的射影重合時(shí)，|OP|取得最小值．再求經(jīng)過原點(diǎn)與平面x+

2

y+z=1垂直的直線與平面x+

2

y+z=1的交點(diǎn)Q，利用距離公式求出OQ的長(zhǎng)，即可得到|OP|取得最小值．

解答：解：∵P（x，y，z）是平面x+

2

y+z=1內(nèi)的點(diǎn)，
∴點(diǎn)P與原點(diǎn)在平面x+

2

y+z=1內(nèi)的射影重合時(shí)，|OP|取得最小值
過原點(diǎn)與平面x+

2

y+z=1垂直的直線方向向量為

a

=（1，

2

，1）
∴過原點(diǎn)與平面x+

2

y+z=1垂直的直線方程為：

x

1

=

y

2

=

z

1

直線方程與平面方程聯(lián)解，得原點(diǎn)在平面x+

2

y+z=1內(nèi)的射影點(diǎn)為Q（

1

4

，

2

4

，

1

4

）
∵|OQ|=

( 1 4 )2+( 2 4 )2+( 1 4 )2

=

1

2

∴動(dòng)點(diǎn)P與Q重合時(shí)，|OP|取得最小值為

1

2

故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面上動(dòng)點(diǎn)，求該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，著重考查了空間兩點(diǎn)的距離和平面垂線的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．