Question

9．給出下列四個命題
①若a＞b＞0，則a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}$；
②$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥2；
③不等式$\frac{1}{x}$＜1的解集是（-∞，0）∪（1，+∞）；
④若b＞a＞0，則a＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$＜b．其中正確命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 利用不等式的性質(zhì)判斷①④正確；令$\sqrt{{x}^{2}+2}=t$（t$≥\sqrt{2}$）換元，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域判斷②；求解分式不等式判斷③．

解答 解：①若a＞b＞0，則$\frac{1}{a}＜\frac{1}$，∴$-\frac{1}{a}＞-\frac{1}$，
∴a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}$，故①正確；
②令$\sqrt{{x}^{2}+2}=t$（t$≥\sqrt{2}$），函數(shù)y=t+$\frac{1}{t}$在[$\sqrt{2}$，+∞）上為增函數(shù)，
∴${y}_{min}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故②錯誤；
③由$\frac{1}{x}$＜1，得$\frac{1}{x}-1＜0$，即$\frac{x-1}{x}＞0$，解得x＜0或x＞1，
∴不等式$\frac{1}{x}$＜1的解集是（-∞，0）∪（1，+∞），故③正確；
④若b＞a＞0，則b＞$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$$＞\sqrt{{a}^{2}}=a$，
∴a＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$＜b，故④正確．
∴正確命題的序號是①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查不等式的性質(zhì)，訓(xùn)練了分式不等式的解法，是中檔題．