Question

【題目】某公司在新年晚會上舉行抽獎活動，有甲，乙兩個抽獎方案供員工選擇． 方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為 ，第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束，若中獎，則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎，規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得1000元；若未中獎，則不能獲得獎金．
方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為 ，每次中獎均可獲得獎金400元．
（Ⅰ）求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列；
（Ⅱ）試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？
（Ⅲ）已知公司共有100人在活動中選擇了方案甲，試估計這些員工活動結(jié)束后沒有獲獎的人數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知X可能的取值為0，500，1000， ，
，

所以某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列為

X	0	500	1000
P

（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，方案甲抽獎所獲獎金X的均值 ，（6分）
若選擇方案乙進行抽獎中獎次數(shù)ξ～B（3， ），
則 ，
抽獎所獲獎金X′的均值E（X′）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，
因邊E（X）＞E（ξ），
故選擇方案甲較劃算．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知選擇方案甲不獲獎的概率為 ，
這些員工不獲獎的人數(shù)Y～B（100， ），
，故這些員工不獲獎的人數(shù)約為28人
【解析】（Ⅰ）由題意知X可能的取值為0，500，1000，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列．（Ⅱ）求出方案甲抽獎所獲獎金X的均值，選擇方案乙進行抽獎中獎次數(shù)ξ～B（3， ），從而抽獎所獲獎金X′的均值E（X′）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，由此得到選擇方案甲較劃算．（Ⅲ）選擇方案甲不獲獎的概率為 ，這些員工不獲獎的人數(shù)Y～B（100， ），由此能求出這些員工不獲獎的人數(shù)．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用離散型隨機變量及其分布列的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．