Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率e=

1

2

，P₁為橢圓上一點，滿足

F1F2

•

P1F2

=0，

P1F1

•

P1F2

=

9

4

，斜率為k的直線l 過左焦點F₁且與橢圓的兩個交點為P、Q，與y軸交點為G，點Q分有向線段

GF1

所成的比為λ．
（I） 求橢圓C的方程；
（II） 設線段PQ中點R在左準線上的射影為H，當1≤λ≤2時，求|RH|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設|

P1F1

|=r₁，|

P1F2

|=r₂，

F1F2

•

P1F2

=0，利用△P₁F₁F₂為直角三角形，得出r₁cos∠F₁P₁F₂=r₂，利用向量的數(shù)量積公式即可得到r₂=

3

2

，從而得 

b2

a

=

3

2

，又e=

c

a

=

1

2

，解得a，b．最后寫出橢圓C的方程；
（2）可求得|RH|關于k的表達式，在y=k（x+1）中，令x=0，得G（0，k），由定比分點坐標公式⇒k²=

3

4

（3λ²+8λ+4），顯然f（λ）=3λ²+8λ+4在[1，2]上遞增，從而求得|RH|的取值范圍．

解答：解：（1）設|

P1F1

|=r₁，|

P1F2

|=r₂，

F1F2

•

P1F2

=0，
△P₁F₁F₂為直角三角形且∠P₁F₂F₁=90⁰，則r₁cos∠F₁P₁F₂=r₂，
由

P1F1

•

P1F2

=

9

4

⇒r₁r₂cosF₁P₁F₂=

9

4

⇒r₂=

3

2

由（2a-

3

2

）²=

9

4

+4c²得 

b2

a

=

3

2

，又e=

c

a

=

1

2

，解得a²=4，b²=3∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）可求得|RH|=3+

3

3+4k2

在y=k（x+1）中，令x=0，得y=k，即得G（0，k），
由定比分點坐標公式⇒k²=

3

4

（3λ²+8λ+4），
顯然f（λ）=3λ²+8λ+4在[1，2]上遞增，
∴

45

4

≤k²≤24，∴3

1

33

≤|RH|≤3

1

16

即為|RH|的取值范圍．

點評：本小題主要考查橢圓的方程、橢圓的簡單性質、定比分點坐標公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．