Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)x₀≥1，f（x₀）≥1，且f（f（x₀））=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²-a
若f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
則須y′≤0，即α≥3x²恒成立，
這樣的實(shí)數(shù)a不存在，
故f（x）在[1，+∞）上不可能是單調(diào)遞減函數(shù)；
若f（x）在[1，+∞）]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a≤3x²恒成立，
由于x∈[1，+∞），故3x²≥3，解可得a≤3，
又由a＞0，則a的取值范圍是0＜a≤3；
（2）（反證法）由（1）可知f（x）在[1，+∞）上只能為單調(diào)遞增函數(shù)．
假設(shè)f（x₀）≠x₀，若1≤x₀＜f（x₀），則f（x₀）＜f（f（x₀））=x₀，矛盾； …（8分）
若1≤f（x₀）＜x₀，則f（f（x₀））＜f（x₀），即x₀＜f（x₀），矛盾，…（10分）
故只有f（x₀）=x₀成立．