如圖所示，雙曲線的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)、E分別是其左、右焦點(diǎn)，若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P，滿足以雙曲線的虛半軸長為直徑的圓與線段PF相切于其中點(diǎn)C，則該雙曲線的離心率為
5
5
．
分析：根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形中位線定理，證出△PEF中，PF⊥PE且|PE|=2b，用勾股定理算出|PF|=2a，結(jié)合雙曲線的定義算出b=2a，c=
5
a．由此即可得出該雙曲線的離心率．
解答：解：∵⊙O切直線PF于點(diǎn)C，∴0C⊥PF
∵0C是△PEF的中位線，得PE∥0C且|PE|=2|0C|
∴△PEF是以EF為斜邊的直角三角形，|PE|=2b
由此可得：|PF|=
EF2-PE2
=
4c2-4b2
=2a
根據(jù)雙曲線定義，得|PF|-|PE|=2a
∴2a-2b=2a，可得b=2a，c=
a2+b2
=
5
a
該雙曲線的離心率為e=
c
a
=
5

故答案為：
5
點(diǎn)評：本題給出雙曲線的一條焦半徑與以虛軸為直徑的圓相切于中點(diǎn)，求該雙曲線的離心率．著重考查了直線與圓相切的性質(zhì)、雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•紅橋區(qū)一模）如圖所示，雙曲線
x2
16
-
y2
20
=1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離是實(shí)軸兩端點(diǎn)A1，A2到右焦點(diǎn)F2距離的等差中項(xiàng)，則P點(diǎn)到左焦點(diǎn)F1的距離為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•宣武區(qū)一模）在面積為9的△ABC中，tan∠BAC=-
4
3
，且
CD
=2
DB
．現(xiàn)建立以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以∠BAC的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．
（1）求AB、AC所在的直線方程；
（2）求以AB、AC所在的直線為漸近線且過點(diǎn)D的雙曲線的方程；
（3）過D分別作AB、AC所在直線的垂線DF、DE（E、F為垂足），求
DE
•
DF
的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知定圓O1、O2的半徑分別為r1、r2，圓心距|O1O2|=2，動圓C與圓O1、O2都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條雙曲線，兩條雙曲線的離心率分別為e1、e2，則
e1+e2
e1e2
的值為（　　）
A、r1+r2
B、r1和r2中的較大者
C、r1和r2中的較小者
D、|r1-r2|

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年江蘇省丹陽高級中學(xué)高三模擬試題一、數(shù)學(xué) 題型：013

如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC上的高分別為BD、AE，則以A、B為焦點(diǎn)，且過D、E的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為

[　　]

A．

B．1

C．

D．2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年鄞州中學(xué)模擬理）（15分） 在面積為9的中，，且�，F(xiàn)建立以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示。

（1）   求AB、AC所在的直線方程；

（2）   求以AB、AC所在的直線為漸近線且過點(diǎn)D的雙曲線的方程；

（3）過D分別作AB、AC所在直線的垂線DF、DE（E、F為垂足），求的值。

 

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案