Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-x（a＞0，a≠1）
（1）若a=e（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)y=f（|x|）在全體實(shí)數(shù)R上恰有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）=e^x-x，則f′（x）=e^x-1…（2分）
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解得x＞0，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得x＜0，f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減．…（2分）
所以x=0是極小值點(diǎn)，f_極小值=f（0）=1…（2分）
（2）函數(shù)y=f（|x|）是偶函數(shù)，要使它在全體實(shí)數(shù)R上恰有4個(gè)零點(diǎn)，只須y=f（x）在（0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn)，…（2分）
要使方程a^x=x在（0，+∞）有2解，則有lna=

lnx

x

在（0，+∞）有2解，…（2分）
設(shè)g(x)=

lnx

x

，則g′(x)=

1-lnx

x2

…（1分）
當(dāng)x＞e時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，且0＜g(x)＜

1

e

當(dāng)0＜x≤e時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，且g(x)≤

1

e

…（4分）
根據(jù)圖象可知0＜lna＜

1

e

，
∴1＜a＜e

1

e

…（2分）