已知橢圓的中心在原點(diǎn)
,離心率
,右焦點(diǎn)為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為,在橢圓
上是否存在點(diǎn)
,使得向量
與
共線(xiàn)?若存在,求直線(xiàn)
的方程;若不存在,簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
(Ⅰ); (Ⅱ)直線(xiàn)
的方程為
或
解析試題分析:(Ⅰ) 由離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)兩個(gè)條件求出橢圓的C的方程.
(Ⅱ)首先假設(shè)存在點(diǎn)P,再通過(guò)向量與
共線(xiàn).得到關(guān)于一個(gè)關(guān)于點(diǎn)P
的橫縱坐標(biāo)的
的一個(gè)等式.因?yàn)辄c(diǎn)P
在橢圓上,所以又得到一個(gè)關(guān)于
的一個(gè)方程.由此可解出
的值.從而寫(xiě)出直線(xiàn)AP的方程.本小題是橢圓中的一個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題,通過(guò)兩個(gè)已知條件求出橢圓的方程.接著利用橢圓方程以及向量的共線(xiàn)知識(shí),求出共線(xiàn)問(wèn)題.
試題解析:(1)設(shè)橢圓的方程為
,
離心率,右焦點(diǎn)為
,
,
,
故橢圓的方程為
6分
(2)假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)
(
),使得向量
與
共線(xiàn),
,
, 7分
(1) 8分
又點(diǎn)
(
)在橢圓
上,
(2) 9分
由(1)、(2)組成方程組解得:,或
, 10分
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為
時(shí),直線(xiàn)
的方程為
, 11分
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為
時(shí),直線(xiàn)
的方程為
, 12分
故直線(xiàn)的方程為
或
13分
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.向量的共線(xiàn).3.直線(xiàn)方程的表示.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓,橢圓
以
的長(zhǎng)軸為短軸,且與
有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和
上,
,求直線(xiàn)
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某校同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中、
是過(guò)拋物線(xiàn)
焦點(diǎn)
的兩條弦,且其焦點(diǎn)
,
,點(diǎn)
為
軸上一點(diǎn),記
,其中
為銳角.
(1)求拋物線(xiàn)方程;
(2)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn),其準(zhǔn)線(xiàn)
與x軸交于K點(diǎn).
(1)求證:KF平分∠MKN;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)MO、NO分別交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)P、Q,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為,點(diǎn)
是點(diǎn)
關(guān)于
軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于
兩點(diǎn)。
(Ⅰ)試問(wèn)在軸上是否存在不同于點(diǎn)
的一點(diǎn)
,使得
與
軸所在的直線(xiàn)所成的銳角相等,若存在,求出定點(diǎn)
的坐標(biāo),若不存在說(shuō)明理由。
(Ⅱ)若的面積為
,求向量
的夾角;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,過(guò)點(diǎn)的兩直線(xiàn)與拋物線(xiàn)
相切于A、B兩點(diǎn), AD、BC垂直于直線(xiàn)
,垂足分別為D、C.
(1)若,求矩形ABCD面積;
(2)若,求矩形ABCD面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)
到直線(xiàn)
的距離是它到點(diǎn)
距離的
倍;曲線(xiàn)
是以原點(diǎn)為頂點(diǎn),
為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn).
(Ⅰ)求,
的方程;
(Ⅱ)過(guò)作兩條互相垂直的直線(xiàn)
,其中
與
相交于點(diǎn)
,
與
相交于點(diǎn)
,求四邊形
面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線(xiàn)與橢圓
有公共焦點(diǎn)
,且橢圓過(guò)點(diǎn)
.
(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)、
是橢圓的上下頂點(diǎn),點(diǎn)
為右頂點(diǎn),記過(guò)點(diǎn)
、
、
的圓為⊙
,過(guò)點(diǎn)
作⊙
的切線(xiàn)
,求直線(xiàn)
的方程;
(3)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線(xiàn)分別交橢圓于另外一點(diǎn)、
,試問(wèn)直線(xiàn)
是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)
到直線(xiàn)
的距離為
.設(shè)
為直線(xiàn)
上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作拋物線(xiàn)
的兩條切線(xiàn)
,其中
為切點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線(xiàn)的方程;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)為直線(xiàn)
上的定點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)
的方程;
(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)
上移動(dòng)時(shí),求
的最小值.
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