Question

已知函數(shù)f（x）=

x+6x≤0 x2-2x+2x＞0

（1）求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若方程f（x）-

m2

2

=0有三個不同實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x≤0時，不等式f（x）＞5化為x+6＞5；當(dāng)x＞0時，不等式f（x）＞5化為x²-2x+2＞5；求并集即可；
（2）方程f(x)-

m2

2

=0有三個不同實數(shù)根，等價于函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=

m2

2

的圖象有三個不同的交點，
畫函數(shù)y=f（x）的圖象，結(jié)合圖象解題．

解答： 解：（1）當(dāng)x≤0時，由x+6＞5得x＞-1，∴-1＜x≤0，
當(dāng)x＞0時，由 x²-2x+2＞5得x＜-1或x＞3，∴x＞3，
綜上所述，不等式的解集為（-1，0]∪（3，+∞）
（2）方程f(x)-

m2

2

=0有三個不同實數(shù)根，等價于函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=

m2

2

的圖象有三個不同的交點，
函數(shù)y=f（x）的圖象：

由圖可知：1＜

m2

2

＜2，得：-2＜m＜-

2

或

2

＜m＜2
所以，實數(shù)m的取值范圍(-2，-

2

)∪(

2

，2)

點評：本題主要考查函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，函數(shù)如果是分段的，要在每一段上考慮應(yīng)用函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．