Question

設(shè)y=f（x）在[0，+∞）上有定義，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，給出函數(shù)f（x）=2-x-x²，若對(duì)于任意x∈[0，+∞），恒有f_K（x）=f（x），則K的最小值為

2

；K的最大值為

無(wú)

．

Answer 1

分析：先根據(jù)新定義的函數(shù)，將所求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解恒成立問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，進(jìn)而求出k的范圍．

解答：解：由題意恒有f_K（x）=f（x），需k≥f（x）對(duì)于任意x∈[0，+∞）恒成立
即需k≥f（x）的最大值，
由于f（x）=2-x-x²=-（x+

1

2

）²+

9

4

故f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)
故函數(shù)f（x）的最大值為f（0）=2
故k≥2，故k有最小值2，但無(wú)最大值
故答案為 2，無(wú)

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生對(duì)新定義型問(wèn)題的理解和掌握程度，理解好新定義的分段函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，不等式恒成立問(wèn)題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法